Este libro nos ofrece una fascinante clave para comprender algunos de los enigmas más persistentes de la física y la cosmología contemporáneas. En efecto, tomándose en serio la antigua analogía de que —como sostuvieron, entre otros, Pitágoras o Kepler— el universo esconde proporciones armónicas, el profesor Stephon Alexander emplea las nociones de ritmo, armonía, proporción, tonalidad o improvisación para acompañarnos en un viaje que arranca en los inicios del universo y nos acerca a los confines de la expansión cósmica. Así, mientras que la moderna teoría de cuerdas nos habla de un mundo de subpartículas en continua vibración, los astrónomos sospechan que el macrocosmos se expande y se contrae en ciclos que recuerdan estructuras musicales.
¿Puede un sistema comprenderse a sí mismo ? Si esta pregunta se refiere a la mente humana, entonces nos encontramos ante una cuestión clave del pensamiento científico. Y de la filosofía. Y del arte. Investigar este misterio es una aventura que recorre la matemática, la física, la biología, la psicología y muy especialmente, el lenguaje. Douglas R. Hofstadter, joven y ya célebre científico, nos abre la puerta del enigma con la belleza y la alegría creadora de su estilo. Sorprendentes paralelismos ocultos entre los grabados de Escher y la música de Bach nos remiten a las paradojas clásicas de los antiguos griegos y a un teorema de la lógica matemática moderna que ha estremecido el pensamiento del siglo XX : el de Kurt Gödel. Todo lenguaje, todo sistema formal, todo programa de ordenador, todo proceso de pensamiento, llegan, tarde o temprano, a la situación límite de la autorreferencia : de querer expresarse sobre sí mismos. Surge entonces la emoción del infinito, como dos espejos enfrentados y obligados a reflejarse mutua e indefinidamente. «Gödel, Escher, Bach: un Eterno y Grácil Bucle», es una obra de arte escrita por un sabio. Versa sobre los misterios del pensamiento e incluye, ella misma, sus propios misterios. Por ello su traducción ha supuesto también una larga, azarosa y laboriosa aventura que el propio autor ha vivido y que relata en un prólogo especialmente escrito para esta versión española.
En este brillante ensayo, al alcance de cualquier lector, el matemático norteamericano John Allen Paulos nos revela cómo nuestra incapacidad para aprender la ley de los grandes números, y todas las probabilidades que conllevan, desinforman políticas de gobierno, confunden decisiones personales y aumentan nuestra vulnerabilidad ante todo tipo de pseudociencias. ¿Por qué sabemos tan pocas matemáticas? ¿Es voluntaria o no esa resistencia nuestra a comprender ese aspecto siempre más presente en nuestra vida diaria? ¿Cuál es el coste social e individual de esta ignorancia? Para que entendamos mejor sus argumentos sobre los grandes números y las probabilidades, el autor recurre a divertidas y cotidianas anécdotas ilustrativas. Comprendemos entonces sin esfuerzo por qué nos empeñamos en jugar a la lotería o en acudir a astrólogos y adivinos, por qué suspendemos viajes por temor a atentados terroristas, no sabemos cuadrar una cuenta bancaria o pensamos que poco importa un billón de pesetas de más o de menos en los presupuestos del Estado, por qué perdemos tanto tiempo en nimiedades y cometemos tantas torpezas evitables. Dejemos, pues, de ser anuméricos, o analfabetos en matemáticas, y veremos que, según Douglas Hofstadter, autor de «Gödel, Escher, Bach» (Metatemas 9), «nuestra sociedad sería totalmente distinta si cualquiera pudiera entender realmente las ideas de este importante libro (…) que podría constituir una auténtica revolución en la enseñanza de las matemáticas». Y añade el gran Isaac Asimov: «Inteligente análisis de las locuras que engendra la falta de comprensión de la ciencia y de las matemáticas».
Presentamos al lector el texto de dos breves conferencias sobre el mismo tema, el tiempo, dadas por Ilya Prigogine a pocos años de distancia una de la otra. Originadas ambas por una invitación de la empresa Montedison, tienen solamente del escrito circunstancial la frescura y el tono de divulgación obligados por las limitaciones del medio: una exposición oral para un auditorio no especializado. Con el mérito añadido de ofrecer, en pocas páginas y sin el auxilio de complejos aparatos matemáticos, con gran claridad, las sólidas tesis de su autor. Esto es lo que nos ha convencido de la utilidad de la publicación conjunta de las dos conferencias. La breve nota biográfica y el texto de la conversación que las preceden introducirán al lector en la compleja problemática que nos presenta Prigogine.
«Este mundo, que aparentemente ha renunciado a la seguridad de las reglas estables y permanentes, es, sin lugar a dudas, un mundo de riesgo y aventura. No puede inspirar confianza ciega; a lo sumo, quizás, el mismo sentimiento de discreta esperanza que ciertos textos talmúdicos parecen atribuir al Dios del Génesis». Así habla Ilya Prigogine, Premio Nobel de Química en 1977 por sus trabajos en el campo de la física, concretamente por la formulación general de la termodinámica de los procesos irreversibles y, en particular, por el análisis de un nuevo estado de la materia: estructuras disipativas, o el orden por fluctuaciones. Y, en otro lugar, también de este libro, continúa: «He tratado de destacar que, en nuestro tiempo, nos hallamos muy lejos de la visión monolítica de la física clásica. Ante nosotros se abre un universo del que apenas comenzamos a entrever las estructuras. Descubrimos un mundo fascinante, tan sorprendente y nuevo como el de la exploración en la infancia. […] Hoy en día, casi a finales del siglo, seguimos siendo incapaces de prever adónde nos llevará este nuevo capítulo de la historia humana, pero podemos estar seguros de que, con él, se abre un nuevo diálogo entre el hombre y la naturaleza». Jorge Wagensberg, director de esta Colección Metatemas, y el propio Ilya Prigogine hicieron la selección de los diez ensayos reunidos con el título general de: «¿Tan sólo una ilusión?». Estos trabajos se sitúan entre 1972 y 1982.
Tal vez sea sintomático de nuestro analfabetismo matemático el hecho de que, en un mundo a todas luces regido por la ciencia y la técnica, estemos cada vez más pendientes de horóscopos y videntes, que nos atraigan los gurús y los paraísos artificiales de los alucinógenos, o que apelemos con mayor virulencia a distintos fundamentalismos religiosos. En Más allá de los números, el conocido científico John Allen Paulos nos ofrece precisamente un eficaz antídoto contra esta fobia matemática, una fobia que tal vez proceda de la imagen errónea y confusa que el hombre actual se ha forjado de las matemáticas. Pues «a menudo», escribe Paulos, «ideas matemáticas muy “avanzadas”, son más intuitivas y comprensibles que ciertos temas de álgebra mental». Concebidos a modo de diccionario, los breves ensayos que constituyen Más allá de los números nos invitan a disfrutar de los conceptos de la matemática moderna, a viajar por el interior de la mente que piensa numéricamente. Resultado: una nueva manera de ver el mundo, un nuevo modo de comprender los más triviales sucesos de la vida diaria. Así, el lector verá la utilidad de las matemáticas en, por ejemplo, la composición de música electrónica o en los escrutinios electorales, para resolver problemas económicos caseros, para empapelar una habitación o para entender qué es la inteligencia artificial.
Los científicos vienen afirmando desde hace ya varias décadas que la ciencia del siglo XXI será la de los sistemas complejos. Y es que en la base de todo sistema complejo —desde el comportamiento de las moléculas hasta las medidas que deben adoptar los Estados para lograr el equilibrio con la naturaleza— subyace una serie de reglas que, una vez identificadas, contribuirán a unificar ampliamente las ciencias de la vida.
Roger Lewin ha querido reunir aquí las ideas de los auténticos pioneros de este descubrimiento para que podamos seguir de cerca la hermosa aventura en la que ya nos hemos embarcado todos irremediablemente.
Desde las colinas que rodean el Cañón del Chaco en Nuevo México hasta los páramos del condado de Devonshire, desde la selva de Costa Rica hasta los laboratorios más sofisticados de Estados Unidos, conversando entre muchos otros biólogos, matemáticos, físicos y químicos, con científicos tan célebres como Edward O. Wilson, entomólogo creador de la sociobiología, Stephen Jay Gould, protagonista de la polémica sobre la noción del progreso en la evolución biológica, James Lovelock, cuya hipótesis de Gaia ha conmocionado el debate sobre el orden emergente, Murray Gell-Mann, físico ganador del Premio Nobel por el descubrimiento de los quarks, o Chris Langton, estudioso de los sistemas complejos adaptativos en las culturas del sudoeste norteamericano, Lewin no sólo ha levantado un auténtico mapa del recorrido realizado hasta hoy por lo que pronto se conocerá como Teoría de la Complejidad, sino que ha trazado la apasionante historia de la lenta, pero obstinada, conquista de sus descubridores.
Con la misma inteligencia, el mismo desenfado y el mismo humor con los que nos hizo comprender por qué, si insistimos en permanecer anuméricos, el complejo mundo que nos rodea acabará por escapar a nuestro control, Paulos nos induce ahora a leer «matemáticamente» entre las líneas de un periódico imaginario, rastreando la estrategia que hay detrás de cualquier titular, y a percibir lo que hay de aleatorio en las muchas falacias que se ocultan tras ciertas noticias, ya sean de crímenes, atentados, acontecimientos políticos y económicos, chismes sobre famosos, sectas, partidos de fútbol, riesgos para la salud y muchos otros temas que ocupan la prensa diaria del mundo entero. Paulos se fija en asuntos que parecen muy al margen de las matemáticas, pero sus argumentos acaban demostrándonos hasta qué punto la «inocencia matemática» puede poner en clara desventaja al lector de un periódico. Incluso a quienes les hicieron odiar las matemáticas en el colegio les gustarán estas «historias numéricas» de un matemático que lee la prensa. Y tal vez ya no se sientan tan perdidos, decepcionados, estafados o engañados… Paulos es un auténtico maestro no sólo en convertir las matemáticas en una disciplina atractiva y viva, sino también en arrojar luz matemática sobre nuestro mundo cotidiano, que cada vez con mayor frecuencia se nos aparece tan enmarañado e inaccesible a toda comprensión.
Benoît Mandelbrot es conocido como el «padre de los fractales». Pero ¿qué es la geometría fractal? Concedamos la palabra al propio Mandelbrot: «¿Por qué a menudo se describe la geometría como algo "frío" y "árido"? Una de las razones es la incapacidad de describir la forma de la nube, una montaña, una costa o un árbol, porque ni las nubes son esféricas, ni las montañas cónicas, ni las costas circulares, ni el tronco de un árbol cilíndrico, ni un rayo rectilíneo. […] Creo que muchas formas de la naturaleza son tan irregulares y fragmentadas que la naturaleza no sólo presenta un grado mayor de complejidad, sino que ésta se nos revela completamente diferente. […] La existencia de estas formas representa un desafío : […] la investigación de la morfología de lo «amorfo". […] En respuesta a este desafío, concebí y desarrollé una nueva geometría de la naturaleza y empecé a aplicarla a una serie de campos. Permite describir muchas de las formas irregulares y fragmentadas que nos rodean, dando lugar a teorías coherentes, identificando una serie de formas que llamo fractales. […] Algunos conjuntos fractales [tienen] formas tan disparatadas que ni en las ciencias ni en las artes he encontrado palabras que lo describieran bien. El lector puede hacerse una idea de ello ahora mismo con sólo echar una rápida mirada a las ilustraciones de este libro». Y termina : «Contra lo que hubiera podido parecer en un principio, la mayoría de mis trabajos han resultado ser los dolores de parto de una nueva disciplina científica». Lo son, en efecto, de tal manera que esta nueva disciplina, la geometría fractal de la naturaleza, protagonizan hoy múltiples investigaciones en todos los campos de la ciencia.Benoît Mandelbrot es conocido como el «padre de los fractales». Pero ¿qué es la geometría fractal? Concedamos la palabra al propio Mandelbrot: «¿Por qué a menudo se describe la geometría como algo "frío" y "árido"? Una de las razones es la incapacidad de describir la forma de la nube, una montaña, una costa o un árbol, porque ni las nubes son esféricas, ni las montañas cónicas, ni las costas circulares, ni el tronco de un árbol cilíndrico, ni un rayo rectilíneo. […] Creo que muchas formas de la naturaleza son tan irregulares y fragmentadas que la naturaleza no sólo presenta un grado mayor de complejidad, sino que ésta se nos revela completamente diferente. […] La existencia de estas formas representa un desafío : […] la investigación de la morfología de lo «amorfo". […] En respuesta a este desafío, concebí y desarrollé una nueva geometría de la naturaleza y empecé a aplicarla a una serie de campos. Permite describir muchas de las formas irregulares y fragmentadas que nos rodean, dando lugar a teorías coherentes, identificando una serie de formas que llamo fractales. […] Algunos conjuntos fractales [tienen] formas tan disparatadas que ni en las ciencias ni en las artes he encontrado palabras que lo describieran bien. El lector puede hacerse una idea de ello ahora mismo con sólo echar una rápida mirada a las ilustraciones de este libro». Y termina : «Contra lo que hubiera podido parecer en un principio, la mayoría de mis trabajos han resultado ser los dolores de parto de una nueva disciplina científica». Lo son, en efecto, de tal manera que esta nueva disciplina, la geometría fractal de la naturaleza, protagonizan hoy múltiples investigaciones en todos los campos de la ciencia.
He aquí la historia de cómo se perdió la conferencia perdida de Feynman y de cómo vino a recuperarse. En abril de 1992, estando yo a cargo de los archivos del Instituto Tecnológico de California (Caltech), Gerry Neugebauer, jefe del departamento de Física, me indicó que revisara los ficheros del despacho de Robert Leighton. Éste estaba enfermo y hacía años que no iba por allí. Marge Leighton, su mujer, ya se había llevado los libros y efectos personales de su marido y había dicho a Neugebauer que no tenía inconveniente en que lo vaciaran. Yo cogería lo que quisiera para los archivos, y el departamento de física se quedaría con el resto.D. L. Goodstein.
¿Hay algo más opuesto que los números y las historias de ficción? Los números son abstractos, seguros y eternos, pero a la mayoría de las personas les parecen fríos e inertes. Las buenas historias están llenas de vida: nos involucran emocionalmente, aportan matices…, pero carecen de rigor y sus posibles verdades siempre son escurridizas y objeto de polémica. Se diría que, para comprender el mundo que nos rodea, los números y las historias son métodos casi incompatibles. «Érase una vez un número» nos descubre que las historias y los números no son tan diferentes como cabría imaginar y que en realidad están relacionados de un modo sorprendente y fascinante. Los conceptos de lógica y probabilidad surgieron de intuiciones sobre el funcionamiento de determinadas historias, y los lógicos de hoy en día se dedican a conjeturar posibles maneras de afrontar situaciones reales a partir de métodos matemáticos. Incluso la teoría de la complejidad enfoca las cadenas numéricas y las cadenas narrativas de manera parecida. En las páginas de «Érase una vez un número», John Allen Paulos tiende un puente entre las dos culturas con su peculiar estilo ingenioso y desenfadado. Además de lúcidos resúmenes sobre la más actual teoría de la información, el lector encontrará por ejemplo, entre chistes y anécdotas divertidas, instrucciones para organizar el mastodóntico timo de la pirámide; una disparatada conversación entre Groucho Marx y Bertrand Russell o explicaciones de por qué es mucho más probable sentirse ofendido que ofensor.
En el universo newtoniano, el viaje en el tiempo era una fantasía inconcebible. Sin embargo, en determinadas condiciones, en el universo de Einstein esta paradoja puede hacerse realidad. J. Richard Gott, astrofísico de la Universidad de Princeton y uno de los más destacados investigadores de esta materia, nos acompaña en un fascinante periplo hasta los límites más sorprendentes de la imaginación y la ciencia: ¿qué haríamos si dispusiéramos de una máquina del tiempo?, ¿nos lanzaríamos a un recorrido turístico por los siglos futuros?, ¿podríamos regresar al pasado y alterar el curso de la historia?
J. Richard Gott comienza describiendo cómo algunas obras clásicas de ciencia-ficción —desde La máquina del tiempo de H. G. Wells hasta la serie televisiva Star Trek — anticiparon, con gran agudeza, algunas propuestas de la física contemporánea. Explica después que los viajes al futuro no sólo son teóricamente posibles, sino que ya han sucedido en la realidad (lo demuestran los astronautas que, de hecho envejecen menos que el resto de los humanos). Pero quizá los más sorprendente de este libro, tan apasionante como riguroso, radica en el hecho de que el estudio de los viajes en el tiempo puede aportar datos para una nueva teoría sobre el origen del universo.
John Allen Paulos sintió a finales de los años noventa, en pleno auge de las empresas «punto com», la irresistible atracción del mundo de la Bolsa. Invirtió dinero, especuló con acciones, se arriesgó cada vez más y... ¡perdió!, tal vez al igual que muchos de sus lectores. En este libro, repleto de inolvidables y divertidísimas anécdotas, pero también de iluminadoras explicaciones sobre el cálculo de probabilidades, la estadística aplicada o las variadísimas fomas en que nuestro dinero puede multiplicarse... y también esfumarse, Paulos desentraña para todos nosotros una serie de interrogantes: ¿trabajan los mercados de forma predecible o están gobernados por el más desesperante azar?, ¿cómo se puede cuantificar el riesgo de una inversión?, ¿son eficaces los análisis técnicos a la hora de escoger las acciones?, ¿cuáles son las estafas más habituales? En ese repaso a su experiencia personal, Paulos recorre todos los tecnicismos de los mercados, desde el punto de vista matemático: cómo funcionan los mercados, cuáles son los efectos de los «conocimientos compartidos» entre los «jugadores», el comportamiento de las finanzas desde el punto de vista de algunas manías psicológicas, el efecto de los rumores sobre los mercados, algunos «timos» bien conocidos (unos teóricos, otros reales) y muchos detalles más. Después entra de lleno en las fórmulas que se emplean para analizar el mercado: el análisis fundamental y el análisis técnico, así como algunas de las estrategias técnicas más conocidas. Tras explicar que muchos de estos sistemas (como el análisis técnico, las «ondas de Elliot» y similares) son sólo comparables en eficacia a las predicciones astrológicas, hace un respaso al azar como factor del mercado, a la teoría de los «mercados eficientes», los esquemas de Ponzi, los «descuentos del futuro» y todo tipo de factores adicionales, desgranando qué tienen de verdad matemática y qué no. También dedica un capítulo a explicar cómo funcionan y por qué son especialmente peligrosas las opciones sobre acciones (con las que él también «invirtió»), y describe matemáticamente los conceptos de riesgo y volatilidad, y también la necesidad de diversificar en la cartera personal. El final del libro lo dedica al estudio del comportamiento de los mercados como sistemas caóticos, a algunos temas sobre complejidad y a ciertas paradojas inherentes de la bolsa.
Célebre por su teoría de la relatividad, que cambió para siempre la ciencia moderna, Einstein fue además un gran humanista: observó con lucidez la sociedad y defendió la convivencia pacífica entre los pueblos, la libertad y un progreso que el Estado no utilizara en contra de los individuos. En esta obra recoge sus reflexiones sobre su vida y la época en que le tocó vivir, y expone en términos sencillos cómo nació y qué es la teoría de la relatividad.
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La tesis central de este libro es que la lectura materialista de la ciencia posee en nuestro tiempo los rasgos característicos de una mitología. Se trata de una representación deformada de la ciencia, en la que se intenta hacer pasar por resultados científicos lo que no son más que interpretaciones particulares de los mismos.
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De uno de los autores del best seller MIS FINANZAS PERSONALES un libro para ahorrar y manejar su dinero de la mejor manera. Si llegó el final de mes y usted cuenta los días para que le consignen el próximo sueldo; si tiene a sus tarjetas de crédito pagando otras tarjetas de crédito; si no sabe en qué se le fue el dinero el mes pasado y siente que 'la plata no alcanza', este libro es ideal para usted. Money Sutra es la más estimulante guía para ayudarlo a ahorrar, disminuir sus deudas y alcanzar la libertad financiera. A través de sencillas y probadas estrategias, este libro seducirá su bolsillo y, en lugar de hacer de usted 'un amarrado', le permitirá gozar de la vida sin gastar demás y, sobre todo, con conciencia de en dónde está su dinero y cómo lo está haciendo crecer.No importa cuáles sean sus ingresos o la etapa de la vida en la que se encuentre, Money Sutra es el manual que le mostrará el camino hacia la tranquilidad financiera.
Desde el siglo IV a. C. y hasta nuestros días, son muchas las mujeres que han aportado conocimiento al mundo matemático. Hipatia de Alejandría mejoró el astrolabio y creó el higrómetro; Caroline Lucretia Herschel descubrió dos mil estrellas dobles y demostró sus sistemas binarios; Sofia Kovalevskaya formuló el teorema de Cauchy-Kovalevski y ganó el reputado Premio Bordin. Este libro nos descubre a grandes mujeres, de todas las épocas, que, superando los más arraigados prejuicios, marcaron la evolución y la historia de las ciencias matemáticas.
¿Difíciles? ¿Aburridas? Eso se acabó. Multiplica como nadie es el primer libro en castellano que introduce las matemáticas védicas de la antigua India, un método que convierte el cálculo en algo fácil, divertido y creativo. El autor, Nacho Ruiz Cía, es el máximo exponente del movimiento por la difusión de las matemáticas védicas en España. Su misión es dar a conocer la sencillez del método, formar a padres, profesores y alumnos para que disfruten con el cálculo, desarrollen su potencial, memoria, atención y creatividad, y acabar por fin con la tan común aversión a las matemáticas. En este libro ofrece una primera aproximación a las matemáticas védicas aplicadas a la multiplicación.
El lenguaje eléctrico del cerebro El cerebro es, sin duda, el sistema más complejo al que podemos enfrentarnos. Su actividad eléctrica, que se produce con amplitud de microvoltios, se recoge mediante el uso de electrodos repartidos homogéneamente desde la superficie exterior del cráneo, dando lugar a los llamados electroencefalogramas (EEG). Se trata de potenciales extremadamente débiles y, por tanto, difíciles de registrar. Sin embargo, la tecnología actual permite su grabación y su análisis, que da lugar al cálculo de ciertos neuromarcadores que nos informan sobre la reacción del cerebro a todo tipo de estímulos, en la misma escala temporal en la que estos se producen. El EEG es, por tanto, fundamental para el estudio de los procesos neurocognitivos. Los electrodos que realizan la grabación también sirven para estimular eléctricamente las neuronas, permitiendo de este modo el tratamiento clínico de diferentes trastornos. En este texto se introducen las herramientas matemáticas y los conceptos fisiológicos básicos que justifican todo este fascinante proceso.
Nikola Tesla ha sido uno de los inventores más originales que haya existido. En la actualidad, aunque algunos hayan oído su nombre, pocos conocen los detalles de la vida y de los descubrimientos de este genio incomprendido y no reconocido. Muchos de sus inventos fueron atribuidos a otros personajes, que hoy son los protagonistas de los libros escolares. Este libro intenta sacar del olvido la vida y los descubrimientos de Tesla, rindiendo honores a su inteligencia y a su originalidad, que paradójicamente tantos obstáculos le crearon en su vida. El libro está estructurado en dos partes, la primera es un breve estudio biográfico del personaje, mientras la segunda se centra en el aspecto histórico-científico. AUTOR Massimo Teodorani es astrofísico, laureado en astronomía con una tesis teórico-matemática sobre la evolución de un residuo de supernova. Paralelamente a sus trabajos astrofísicos ha realizado investigaciones sobre los plasmas atmosféricos y su especialidad son los fenómenos luminosos anómalos. Ha trabajado en los observatorios de Bolonia y Nápoles y en el radiotelescopio del CENR en Medicina, Italia.